Trigonometria

Trigonometria.

La parte de las matemáticas que tienen su fundamento en las propiedades especiales del triángulo rectángulo recibe el nombre de trigonometría. Por definición, un triángulo rectángulo es uno que incluye un ángulo de 90°. Considérese el triángulo recto que se muestra en la figura, donde el lado a es opuesto al ángulo α, el lado b es adyacente al ángulo α, y el lado c es la hipotenusa del triángulo. Las tres funciones trigonométricas básicas definidas para dicho triángulo son las funciones seno (sen), coseno (cos), y tangente (tan). En relación con el ángulo α, estas funciones se definen por medio de:

El teorema de pitágoras brinda la siguiente relación entre los lados de un triángulo rectángulo:

C² = a² +b²

A partir de las definiciones anteriores y del teorema de pitagoras, se deduce que:

Sen² α ­+ cos² α = 1

tan α = sen α/cos α

Las funciones cosecante, secante y cotangente están definidas por:

csc α = 1/sen α

sec α = 1/cos α

cot α = 1/tan α

Las relaciones siguientes surgen directamente del triángulo rectángulo mostrado en la figura anterior:

sen α = cos (90 - α)

cos α = sen (90 - α)

cot α = tan (90 - α)

Algunas propiedades de las funciones trigonométricas:

sen (-α) = -sen α

cos (-α) = cos α

sen (-α) = -tan α

Las siguientes relaciones se aplican a cualquier triángulo, de acuerdo con la indicación de la figura:

α + β + θ = 180°

Ley de los cosenos:

a² = b² + c² - 2bc cos α
b² = a² + c² - 2ac cos β
c² = a² + b² - 2ab cos θ

Ley de los senos:

a/sen α = b/sen β = c/sen θ

Algunas identidades trigonométricas.

• sen² θ + cos² θ = 1
• sec² θ = 1 + tan² θ
• csc² θ = 1 + cot² θ
• sen 2θ = 2 sen θ cos θ
• cos 2θ = cos² θ - sen² θ
• tan 2θ = 2tan θ/ 1-tan² θ
• sen² (θ/2) = ½(1-cos θ)
• cos² θ = ½(1+cos θ)
• 1 – cos θ = 2sen² (θ/2)
• tan (θ/2) = √[(1-cos θ)/(1+cos θ)]
• sen (A ± B) = sen A cos B ± cos A sen B
• cos (A ± B) = cos A cos B ± sen A sen B
• sen A ± sen B = 2sen [½ (A ± B)] cos [½ (A ± B)]
• cos A + sen B = 2cos [½ (A + B)] cos [½ (A – B)]
• cos A – cos B = 2sen [½ (A + B)] sen [½ (B – A)]

1.- En el siguiente triángulo identifique, a) el lado opuesto a θ, y b) el lado adyacente a α, y c) encuentra cos θ, d) sen α, y e) tan α.
a) 3 b) 3 c)4/5 d)4/5 e)4/3


2.- En cierto triángulo rectángulo los lados que son perpendiculares entre si miden 5 m y 7 m de largo. ¿cual es la longitud del tercer lado?
Respuesta: 8.60 m

Usando pitagoras:

c² = a² + b² = 5² + 7² = 74

c = √73 = 8.602

3.- Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 3 m de longitud, y uno de sus ángulos es de 30°. ¿cual es la longitud de a) el lado opuesto al ángulo de 30° (X), y b) el lado adyacente al ángulo de 30° (X)?.

a)

sen 30° = lado opuesto al ángulo/3

(sen 30°) (3) = X
X = 1.5 m

b)

cos 30° = lado adyacente del ángulo/3

(cos 30°) (3) = X
X = 2.6 m